点到直线的距离公式的五种推导方法
文章正文
发布时间：2025-08-02 17:06
点到直线的距离公式的七种推导方法
已知点
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直线![]()
求点P到直线![]()
的距离。（因为特殊直线很容易求距离，开荒保洁13825404095这里只讨论一般直线）
一、 定义法
证：根据定义，点P到直线
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的距离是点P到直线![]()
的垂线段的长，如图1，
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设点P到直线![]()
的垂线为![]()
，垂足为Q，由![]()
可知![]()
的斜率为![]()
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的方程：![]()
与![]()
联立方程组
解得交点
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![]()
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二、 函数法
证：点P到直线
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上任意一点的距离的最小值就是点P到直线![]()
的距离。在![]()
上取任意点![]()
用两点的距离公式有，为了利用条件![]()
上式变形一下，配凑系数处理得：
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当且仅当
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时取等号所以最小值就是![]()
三、不等式法
证：点P到直线
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上任意一点Q![]()
的距离的最小值就是点P到直线![]()
的距离。由柯西不等式：![]()
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当且仅当
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时取等号所以最小值就是![]()
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四、转化法
证：设直线
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的倾斜角为![]()
过点P作PM∥![]()
轴交![]()
于M![]()
显然![]()
所以![]()
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易得∠MPQ＝
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（图2）或∠MPQ＝![]()
（图3）
在两种情况下都有
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所以![]()
![]()
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五、三角形法
证：P作PM∥
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轴交![]()
于M，过点P作PN∥![]()
轴交![]()
于N（图4）
由解法三知
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；同理得![]()
在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高
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六、参数方程法
证：过点
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作直线![]()
交直线![]()
于点Q。(如图1)
由直线参数方程的几何意义知
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，将![]()
代入![]()
得![]()
整理后得
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当
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时，我们讨论![]()
与![]()
的倾斜角![]()
的关系：
当
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为锐角时（![]()
）有![]()
（图2）
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当
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为钝角时（![]()
）有![]()
（图3）
得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得
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七、向量法
证：如图五，设直线
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的一个法向量![]()
，Q直线上任意一点，则![]()
。从而点P到直线的距离为：
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附：
方案一：
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设点P到直线![]()
的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥![]()
可知，直线PQ的斜率为![]()
（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由![]()
与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线![]()
的距离为d![]()
方案二：设A≠0，B≠0，这时
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与![]()
轴、![]()
轴都相交，过点P作![]()
轴的平行线，交![]()
于点![]()
；作![]()
轴的平行线，交![]()
于点![]()
，
由
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得![]()
.
所以，｜PＲ｜＝｜
![]()
｜＝![]()
｜PS｜＝｜
![]()
｜＝![]()
｜ＲS｜＝
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×｜![]()
｜由三角形面积公式可知：![]()
·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜![]()
所以
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可证明，当A=0时仍适用
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